~ Serie 2 ~

Aufgabe 1

  • Im ersten Teil ist es sicherer, die beiden Ungleichungen getrennt zu zeigen.

  • Fange beim zweiten Teil mit $|x_n - x| < \epsilon$ an und forme es so weit um, bis du eine Bedingung der Form $n > …$ bekommst. Wenn du das geschafft hast, kannst du deine eigentliche Abgabe anfangen mit “Sei $\epsilon > 0$ und $N_\epsilon > …$, dann gilt für $n > N_\epsilon$: … $\Rightarrow |x_n - x| < \epsilon$”, wobei das letzte “…” für die Umformungen steht, mit denen du die Bedingung erhalten hast. Dann natürlich rückwärts.

Aufgabe 2

(b)

  • Das Sandwitchtheorem könnte hilfreich sein.
  • Das $(-1)^n$ stört vermutlich etwas. Betrachte die Folge ohne diesen Term und die Folge mit $-1$ statt diesem Term.

(c)

  • Ausklammern

Aufgabe 3

  • Ringschluss i $\Rightarrow$ ii $\Rightarrow$ iii $\Rightarrow$ iv $\Rightarrow$ i
  • Wenn du die richtigen Sätze im Skript findest, musst du quasi nichts selbst tun.
  • Erinnere dich an Häufungspunkte.

Aufgabe 4

  • Ihr müsst immer beweisen, dass eure Aussagen wahr sind. (Oder auf einen Teil der Notizen verweisen, in dem das steht, was ihr sagt.)

(c)

  • Betrachte $n > 42$.

Teil 2

  • Wirf einen sehr genauen Blick auf die Indizes.

Zusatzaufgabe

(a)

  • Vielleicht hilft es dir, die Folge zuerst aufzuzeichnen.

(b)

  • Du musst die Folge nicht explizit angeben. Wenn du sagen kannst, wieso sie existiert, und wie man sie finden kann, würde mir das auch reichen.
  • Dichtheit