~ Serie 3 ~

Mir ist aufgefallen, dass ich in den letzten Hinweisen zum Sandwich-Theorem geraten habe, obwohl die betreffende Folge gar nicht konvergiert. Das ist natürlich Quatsch, zum Glück hat es auch niemand versucht. Wenn euch in Zukunft so etwas auffallen sollte, könnt ihr euch gerne melden.

Aufgabe 1

(a)

  • Die $A_n$ sind natürlich nicht leer.
  • Unterscheidet den Fall, dass $A_n$ endlich ist, und betrachtet den Fall, dass $A_n$ nicht endlich ist.
  • Wenn $A_n$ nicht endlich ist, gibt es nichts zu zeigen. (Warum?)

(b)

  • Findet eine Abbildung $\N \times \N \to \bigcup_{n\in\N} A_n$.
  • (a)

Aufgabe 2

(a)

  • Schreibt $z$ als $a + ib$ für $a, b \in \R$. Der Rest folgt durch Einsetzen.

(b)

  • Das müsst ihr nicht direkt ausrechnen! Die beiden Aussagen lassen sich gut aus bekannten Rechenregeln folgern.
  • Es gilt (wieso?) $z \bar z = |z|^2$.

(c)

  • Das müsst ihr nicht direkt ausrechnen!
  • Der erste Teil folgt aus der Präsenzaufgabe und $z \bar z = |z|^2$.
  • Der zweite Teil folgt aus dem ersten.

Aufgabe 3

  • Betrachtet zuerst $z + \frac 1 z$ mit $z = a + ib$ für $a, b \in \R$.
  • Was ist der Imaginärteil von $z + \frac 1 z$ für $z = a + ib$, und was soll er in dieser Aufgabe sein? Forme das etwas um, bis du zwei Fälle hast.
  • Einer der Fälle ist $b = 0$.
  • Für die Hin-Richtung kannst du eine Fallunterscheidung vornehmen.
  • Bitte vergesst nicht die Umkehrungen.

Aufgabe 4

  • Ihr könnt die Grenzwerte von zwei Arten von Reihen berechnen: Grenzwerte von Teleskopsummen und geometrische. Versucht, die Reihe so umzuformen, bis eine der beiden dasteht.

(a)

  • Eins von beiden, $A$ oder $B$, könnt ihr “frei” wählen. Allerdings sollten $A$ und $B$ nicht von $k$ abhängen.
  • Um das zu erreichen, könnt ihr die Gleichung aus dem Hinweis so umstellen, dass nur noch Terme mit $Ak$, $Bk$, $A$, $B$ und konstante stehen, und dann fordert, dass $… \cdot Ak + … \cdot Bk = 0$.
  • Das könnt ihr dann in die Reihe einsetzen und weiterrechnen.