~ Serie 4 ~

  • Aufgabe 4(b) lässt sich problemlos ohne 4(a) lösen.

Aufgabe 1

Die vorigen Hinweise waren wieder mit Fehlern:

  • das Verdichtungskriterium lässt sich natürlich nicht anwenden, weil die Folgen nicht monoton fallen (sondern alternieren).

  • Für $l = 2$ und $l = 3$ kennt ihr die Antworten allerdings trotzdem schon aus der Präsenzübung: Der “negative” Teil der Reihe ist endlich (vgl. Übung), der “positive” ist unendlich. Damit ist die Summe von beidem immer noch unendlich.

Aufgabe 2

  • Ein Ziel der Aufgabe ist es, dass ihr ein gewisses Gefühl für diese Summen und Kriterien bekommt, deshalb werde ich euch nicht direkt sagen, welches Kriterium ihr benötigt. Hier sind aber ein paar mögliche Herangehensweisen:
  • Wenn ihr Terme seht, bei denen der Term für $n+1$ gut mit dem für $n$ kürzen lässt, könnte das Quotientenkriterium gut sein, z.B. bei Faktoren wie $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$.
  • Meistens ist das Quotientenkriterium etwas einfacher als das Wurzelkriterium.
  • Terme mit $^n$ vereinfachen sich, wenn man die $n$-te Wurzel zieht. In solchen Fällen bietet sich das Wurzelkriterium an.
  • Wenn ihr eine Vermutung habt, ob die Reihe konvergiert oder nicht, könnt ihr das Majoranten- bzw. Minorantenkriterium versuchen.
  • Vor allem, wenn sich die Terme nicht gut kürzen lassen, z.B. bei Brüchen mit Summen in Zähler und Nenner.

(b)

  • Exponentialfunktion

Aufgabe 3

  • $\mathbb C$ ist auch ein Körper, ihr könnt also fast alles so tun wie in $\R$, nur ohne die Ordnung.
  • $\sum_{n=1}^\infty a_n = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N a_n$.
  • Der Ausdruck oben ist ein Grenzwert. Ihr sollt also zeigen, dass ein Grenzwert existiert (wenn der andere existiert).
  • Zum Beispiel mit der Grenzwertdefinition. Sei $\epsilon > 0$, dann gibt es $N \in \N$, s.d. $N > $ …
  • Die Summe ist eine Teleskopsumme.

Aufgabe 4

(a)

  • Ob die Reihe konvergiert, hängt nicht von den ersten paar Einträgen ab.
  • Wenn $\sum_{n \geq 1} x_n$ konvergiert, muss $\lim_{n\to\infty} x_n = 0$ gelten.
  • Minorantenkriterium