~ Serie 5 ~

Aufgabe 1

  • Wenn ihr zu dem Schluss kommt, dass ihr nichts über die Reihe sagen könnt, müsst ihr ein Beispiel von $(d_n)_{n\in\N}$ finden, in dem die Reihe konvergiert, und eins, in dem sie divergiert.
  • Die $d_n$ müssen nicht gegen 0 konvergieren.
  • Die Teilaufgaben sind nicht geordnet.

(c)

  • Majorantenkriterium

Aufgabe 2

Stetigkeit fällt den meisten am Anfang schwer. Es ist natürlich sehr ungünstig, dass die Übung dazu diese Woche ausfällt; ihr müsst es euch also ein wenig selbst erklären. Aufgabe 3 vom Präsenzblatt ist eine gute Anschauungsmöglichkeit dazu.

  • Die Aufgabe sieht viel schlimmer aus als sie ist.

  • Eine $U_R(c)$-Kugel ist im Prinzip ein ausgefüllter Kreis um den Punkt $c$ mit Radius $R$.

  • Wenn euch das hilft, könnt ihr die Aufgabe erst in $\R$ lösen. Dann sind $U_R(c)$-Kugeln offene Intervalle. Der Fall in $\mathbb C$ funktioniert dann genauso.

  • Ein Vorteil daran ist, dass ihr Funktionen in $\R$ gut zeichnen könnt.

  • Über das “warum?” im Hinweis müsst ihr euch keine so großen Gedanken machen.

Aufgabe 3

  • Für differenzierbare Funktionen (die ihr noch nicht eingeführt habt!) bedeutet Lipschitz-Stetigkeit, dass die Ableitung im Betrag beschränkt ist. Das dürft ihr natürlich nicht benutzen, weil ihr noch gar keine Ableitungen kennt, aber vielleicht hilft es euch bei der Vorstellung.

  • Hier ist ein uralter Post zu dem Thema, der den Unterschied zwischen Stetigkeit, Lipschitz-Stetigkeit und gleichmäßiger Stetigkeit erklärt.

  • Um Lipschitz-Stetigkeit zu zeigen, müsst ihr die Konstante finden. Um sie zu widerlegen, müsst ihr zeigen, dass es für jede Konstante ein $x$ und ein $y$ gibt, s.d. … usw., das heißt, ihr müsst euch $c$ vorgeben lassen und dann $x$ und $y$ finden.

  • Um gleichmäßige Stetigkeit zu zeigen, müsst ihr zu jedem $\epsilon$ ein $\delta$ finden. So ähnlich wie bei Konvergenzbeweisen das $N$.

Aufgabe 4

  • Fallunterscheidung!
  • Was passiert, wenn ihr mit rationalen Punkten immer näher an irrationale geht?
  • Sowohl $\mathbb Q$ als auch $\R \setminus \mathbb Q$ sind dicht in $\R$.

Zusatzaufgabe

  • $(a_n)_{n \in \mathbb N}$ und $(b_n)_{n \in \mathbb N}$ müssen keine Nullfolgen sein.
  • “Monoton fallend” bedeutet nicht “strikt monoton fallend”.