Es folgen kurze Notizen zu den Aufgaben. Fragen könnt ihr mir gern per Mail oder nächste Woche stellen.
Aufgabe 3
(a)
Das Polynom im Zähler hat eine Nullstelle in $-1$ (einsetzen). Das heißt, ihr könnt es durch $(x-1)$ teilen und erhaltet ein neues Polynom. Eigentlich ist es also nur ein ganz normales Polynom, das an einer Stelle verändert wurde.
Das ist stetig, wenn es an dieser Stelle “sowieso” den Wert $42$ annehmen würde.
- Das Polynom wurde an der Stelle $-1$ verändert, anschauen wollen wir uns aber nur die Stelle $1$. Da der Nenner dort nicht $0$ wird, ist es automatisch stetig als Produkt stetiger Funktionen (siehe Rechenregeln).
Lösung:
- Es ist stetig in $1$, aber nicht in $-1$.
(b)
- Analog zu a
- Die einfache Lösung aus (a) funktioniert hier nicht, weil das Polynom im Nenner diesmal eine Nullstelle in $1$ hat.
- Das Zähler-Polynom hat allerdings eine Nullstelle in $-1$, d.h. ihr könnt es teilen, erhaltet ein Polynom und wenn es in $1$ genau den gegebenen Wert hat, ist es stetig.
Lösung:
- Nicht so wichtig. Ob ihr das Richtige herausbekommt, hängt größtenteils davon ab, ob ihr die Polynomdivision richtig ausgeführt habt. Wichtig ist eher, dass ihr etwas mit Polynomdivision versucht habt.
(c)
Der dritte Fall ist egal, weil wir die Stetigkeit in $0$ testen und nicht die für $x > 1$ oder $x < -1$.
Wichtig ist die Frage, ob $f_3(x)$ für $x \to 0$ gegen $f_3(0) = \frac 1 2$ konvergiert.
Lösung (korrigiert):
- Ja, das tut sie.
(d)
Welche Werte nimmt die Funktion für $x \neq 0$ an?
Wenn es euch hilft, könnt ihr die Fälle $x > 0$ und $x < 0$ unterscheiden, um den Betrag loszuwerden.