Ähnlich zum Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen.
“Cantors zweites Diagonalargument”
(b)
Injektivität und Surjektivität einzeln überprüfen
(c)
Letztes Semester haben wir auf Blatt 3, Aufgabe 2, gezeigt, dass es keine surjektive Abbildung $X \to \mathcal P (X)$ geben kann.
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Durch einfaches Umstellen lässt sich eine Formel für $\varphi$ erhalten.
$\Rightarrow$
Ein Kandidat für $\varphi$ ist durch die Formel gegeben.
Jetzt muss nur noch gezeigt werden, dass $\varphi (q) \to 0$ für $q \to p$ gilt.
Grenzwertdefinition
Aufgabe 4
Möglichkeit für einen direkten Beweis:
Betrachte $x \neq y$. Wir wollen zeigen, dass $f(x)$ und $f(y)$ beliebig nah aneinander liegen.
Es gibt jedes $n$ Zahlen $x_0, …, x_n$, s.d. $x_0 = x, x_n = y, |x_i - x_{i-1}| \leq |x-y| \cdot \frac 1 n$ für alle $i$ gilt. (Hier muss noch begründet werden, warum diese Zahlen existieren, aber es reicht, wenn ihr begründet, wie ihr sie bestimmen könnt.)
Stelle eine Teleskopsumme mit den $x_i$ auf, um $x-y$ zu erhalten.
Jetzt lässt sich $|f(x) - f(y)|$ nach oben abschätzen durch einen Term, der für $n \to \infty$ gegen $0$ konvergiert.
Benutze die Dreiecksungleichung $$ \left| \sum_{i=1}^N a_i - b_i \right| \leq \sum_{i=1}^N |a_i - b_i| $$ für geeignete $a_i, b_i$.
Für den Rest reichen Hölder-Stetigkeit und die Voraussetzung, $|x_i - x_{i-1}| \leq |x-y| \cdot \frac 1 n$.