Aufgabe 1
- Im Prinzip musst du zeigen, dass $\lim_{x \to p} …$ genau dann existiert, wenn $\lim_{x \to p, x \geq p} …$ und $\lim_{x \to p, x \leq p} …$ existieren und übereinstimmen.
- Das geht zum Beispiel mit der Definition von $\lim_{x \to p} …$ über Folgen.
Aufgabe 2
Am Besten zeichnet ihr die Funktion zuerst.
Ihr dürft Aufgabe 1 benutzen.
- Proposition “Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit”: Wenn eine Funktion nicht stetig ist, kann sie nicht differenzierbar sein.
(d)
- Aufgabe 4 vom Präsenzzettel für $x_0 = 0$ und $x \mapsto 0 = 0 \cdot x + 0$.
Aufgabe 3
- Hier reicht es nicht, eine überall unstetige Funktion in einem Punkt zu ändern.
- Man könnte so darüber denken: Ihr habt eine Funktion, die differenzierbar ist, und eine Funktion, die nirgends stetig ist. Ziel ist, sie so übereinander zu legen, dass in $0$ die Differenzierbarkeit durchsetzt und überall sonst die unstetige Funktion. (“Übereinanderlegen” heißt multiplizieren. Der schwierigere Teil ist, die richtigen Funktionen zu finden.)
- Überall unstetige Funktionen kennt ihr schon aus den letzten Präsenzblättern / Hausaufgaben / Vorlesungen.
- Wie in der Übung gesagt, ist $x \mapsto x^2 \cdot \sin(\frac 1 x)$ (mit $0 \mapsto 0$) differenzierbst in $0$, obwohl $\sin(\frac 1 x)$ (mit ($0$ \mapsto $0$) nicht einmal stetig in $0$ ist. Das $x \mapsto x^2$ “drückt” den Rest einfach wirklich schnell zusammen und dominiert die Werte in $0$.
- Ihr müsst begründen, warum eure Funktion diese Eigenschaften erfüllt.
Aufgabe 4
- Skizze nicht vergessen