Berechne die Ober- und die Untersumme für eine beliebige Zerlegung.
Sie werden sich mindestens um einen festen Faktor $> 0$ unterscheiden.
Dieser Unterschied lässt sich gut grafisch bestimmen.
Aufgabe 2
Die Aussage lässt sich mit Aufgabe 3 zeigen.
Zum Beispiel über Induktion über $n$, die Anzahl der Stützstellen der Zerlegung $Z$. Für $n = 3$ (d.h. $Z = (a, c, b)$ für ein $c \in (a,b)$) ist die Lage genau wie in Aufgabe 3.
Konstante Funktionen könnt ihr sehr einfach integrieren. Auf $[z_{i-1}, z_i]$ ist die Treppenfunktion konstant.
Aufgabe 3
Betrachte eine beliebige Zerlegung $Z$ und füge den Punkt $c$ hinzu. Das macht sie höchstens feiner, und wir betrachten sowieso $|Z| \to 0$.
Jetzt teilen sich die Ober- und Untersumme in einen Teil “vor $c$” und einen Teil “nach $c$”. Beide konvergieren.
Aufgabe 4
“von einheitlichem Vorzeichen” bedeutet, dass o. E. von $g \geq 0$ ausgegangen werden kann. (Sonst betrachte $-g$, …)
Betrachte die Funktion $\xi \mapsto \int_a^b f(\xi) g(x) ~dx = f(\xi) \int_a^b g(x) ~dx$. Diese Funktion ist stetig in $\xi$. (Warum?)