Aufgabe 1

Der Trick ist, dass eine $n+1$-elementige Menge $S$ aus einer $n$-elementigen Menge und einem weiteren Element $x$ besteht (wieso?).
Die Abbildung lässt sich nun sehr direkt konstruieren.
Wenn ihr eure Abbildung nun konstruiert habt, vergesst nicht zu zeigen, dass sie tatsächlich injektiv und surjektiv ist.
Dabei könnt ihr benutzen, dass es zwei Möglichkeiten für eine Teilmenge von $S$ gibt: $x$ kann in $S$ liegen oder nicht. In jedem Fall müsst ihr ein Urbild finden.
Für den Nachweis, dass ihr tatsächlich auf $2^{n+1}$ Teilmengen kommt, könnt ihr $2^{n+1} = 2^n + 2^n$ benutzen (wieso gilt das?).

Aufgabe 2

Für das “Insbesondere” müsst ihr nicht viel begründen, aber vergesst nicht, etwas dazu zu sagen.

indirekter Beweis

indirekter Beweis
Für unterschiedliche $n$, $m$ gibt es (wieso?) ein $k \in N$ mit $n = m + k$ oder $m = n + k$.
Wieso?
Dazu könnte “Proposition (Definition von Subtraktion)” hilfreich sein.
Wozu?
Dann lässt sich $J(n) = J(m) = J(n+k)$ anwenden (oder umgekehrt).

Ihr könnt Aufgabe 3(b) benutzen (auch wenn ihr 3(b) nicht gelöst haben solltet!).
Ihr müsst also nur zeigen, dass es kein $n \in N$ mit $J(n) = 0$ gibt.
Das lässt sich zum Beispiel über Induktion nachweisen.