Aufgabe 1

• Der Körper $K$ ist angeordnet. In einer früheren Version des Aufgabenblatts fehlte diese Notiz.

• Induktion über $n$
• Im Induktionsschritt lässt sich nicht $(1+x)^n \cdot (1+x) \geq (1+x)^n$ verwenden, weil $(1+x)$ in dieser Aufgabe kleiner ist als $0$.
• Stattdessen könnt ihr $(1+x)^n \cdot (1+x) = (1+x)^n + x \cdot (1+x)^n$ verwenden.

Aufgabe 2

Gebt wieder in jedem Schritt an, welches Axiom ihr benutzt.

Aufgabe 3

Es sind drei Aussagen zu zeigen.

Existenz einer oberen / unteren Schranke

• Es ist eine Äquivalenz zu zeigen. Ihr könnt entweder beide Richtungen getrennt zeigen oder argumentieren, warum alle Umformungen, die ihr gemacht habt, äquivalent sind.

• Nehmt an, ihr hättet eine obere Schranke von $M$. Was bedeutet das?
• Findet eine untere Schranke von $-M$.

Existenz des Supremums / Infimums

• Auch hier müsst ihr eine Äquivalenz zeigen. Wenn ihr begründen könnt, wieso alle benutzen Implikationen Äquivalenzen sind, genügt das.

• Ihr könnt zeigen, dass ihr das Infimum von $-M$ über das Supremum von $M$ angeben könnt. Insbesondere existiert es dann.
• Das Supremum ist die kleinste obere Schranke. Das Infimum ist die größte untere.
• Ihr müsst also zeigen, dass für ein kleineres $b < \sup M$ das Element $-b$ keine untere Schranke für $-M$ ist.
• Finde ein Element in $-M$, das kleiner ist als $-b$.

$\sup M = - \inf(-M)$

• Das habt ihr in den vorigen Schritten eigentlich schon gemacht. (Wieso?)

Aufgabe 4

Achtet darauf, dass für die “Multiplikation” $nx$ nicht die Axiome der Multiplikation gelten, weil $\mathbb N$ keine Teilmenge des Körpers ist. Ihr wisst über $\mathbb N$ nur das, was ihr in der Vorlesung über $\mathbb N$ gelernt habt, von $K$ kennt ihr nur die Körperaxiome, und über die Interaktion zwischen $\mathbb N$ und $K$ (also Ausdrücke der Form $nx$) wisst ihr nur das, was in der Aufgabenstellung definiert wurde.

(a)

• Induktion über $n$

(b)

• Es genügt, drei Fälle zu betrachten:
• $x = 0_K$, $x = 1_K$ und $x \notin {0_K, 1_K}$.

• Fall 2:

  Induktion über $m$.

• Fall 3:

  Hier müsst ihr zeigen, dass $J$ nicht multiplikativ ist.
  • Es genügt, ein $n$ und ein $m$ zu finden, für das $J(n \cdot m) = J(n) \cdot J(m)$ nicht gilt.
  • Setzt zum Beispiel $n = m = 1_N$ ein.
  • Warum ist $x = x^2$ ein Widerspruch?