Aufgabe 1

• Benutzt den Hinweis auf dem Blatt. Ihr müsst allerdings begründen, wieso das genügt.

abelsche Gruppe bzw. Körper

• Das $J$ aus dieser Aufgabe ist (wieso?) das gleiche wie vom letzten und vorletzten Blatt.

• Abgeschlossenheit bzgl. Addition:

  • Zu zeigen ist $\pm J(n) \pm J(m) = \pm J(k)$ für ein $k$.

• Zum Hinweis:

  • $\mathbb Z_K$ ist (wieso?) eine Teilmenge des Körpers $K$.
  • Wieso?
    $J \colon \mathbb N \to K$.
  • Warum ist das nützlich?
    Die entsprechenden Axiome übertragen sich auf Teilmengen. (Wieso? Vor allem müsst ihr zeigen, dass $0_K$ und $1_K$ in $\mathbb Z_K$ und $\mathbb Q_K$ enthalten sind.)

kleinste Gruppe bzw. kleinster Körper

• Nehmt an, eine andere Gruppe bzw. ein anderer Körper würde $J(\mathbb N)$ enthalten.
• Welche Elemente muss sie bzw. er dann noch enthalten, um eine abelsche Gruppe bzw. ein Körper zu sein?
• Betrachtet Inversenbildung bzgl. Addition und Multiplikation, Abgeschlossenheit unter Multiplikation.

Aufgabe 2

• In der Aufgabe dürft ihr nur benutzen, was ihr bereits in der Vorlesung gezeigt habt.

• Der größte Teil der Aufgabe besteht darin, $\sqrt 2 \notin \mathbb Q$ zu zeigen.
• Nehmt dazu an, $\sqrt 2$ läge in $\mathbb Q$.
• Das heißt, $\sqrt 2 = \frac p q$.
• Nehmt nun ohne Einschränkung an, dass $p$ und $q$ nicht den gemeinsamen Teiler $2$ haben. (Wieso lässt sich das arrangieren?)
• Es gilt nun (wieso?) $p^2 = 2 \cdot q^2$.
• Also ist $p^2$ und damit auch $p$ gerade, also $p = 2 \cdot x$. (Wieso?)
• Daraus folgt (wie?) $2 q^2 = 4 x^2$.
• Jetzt ist auch $q$ gerade. Also haben $p$ und $q$ den gemeinsamen Teiler $2$.

Aufgabe 3

• Die Richtigkeit eurer Antwort muss wie immer bewiesen werden.

• $c \neq 0$

  • Es gibt zwei Fälle:
  • Es kann entweder keine Lösung geben, eine oder genau $2$. Ihr müsst zeigen, dass all diese Fälle eintreten können (also Beispiele finden), und beweisen, dass es keinen dritten Fall gibt.
  • Ihr könnt für die letzte Aussage zeigen, dass für alle Lösungen $x,y$ gilt: $x = y$ oder $x = -y$.
  • Der Grund ist, dass $x-y = 0$ oder $x+y = 0$ gelten muss.
  • Betrachtet dazu $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

  • Genau eine Lösung:

    Zum Beispiel in $\mathbb F_2$ (siehe letzte Übungsblätter) kann es genau eine Lösung geben, da dort 1 = -1 gilt.

Aufgabe 4: $\inf(A+B) = \inf(A) + \inf(B)$

(a)

• Die Gleichheit lässt sich zeigen, indem ihr sowohl $\ldots \geq \ldots$ als auch $\ldots \leq \ldots$ zeigt.
• Zu $\geq$:
  • Die Idee ist zu zeigen, dass $\inf A + \inf B$ eine untere Schranke für $A+B$ ist.
  • Betrachtet ein Element aus $A+B$. Ist es kleiner als $\inf(A) + \inf(B)$?
• Zu $\leq$:
  • Betrachtet zum Beispiel eine Zahl $s > \inf(A) + \inf(B)$. Kann dieses $s$ eine untere Schranke für $A+B$ sein?
  • Nein: Es gilt $s - \inf B > \inf A$. Also ist $s - \inf B$ keine untere Schranke für $A$. (Wieso?)
  • Es gibt also ein $a \in A$ mit $a < s - \inf B$.
  • Analog gibt es ein $b \in B$ mit $b < s-a$.
  • Es ist also $a+b < s$.

(b)

• Betrachtet Mengen, die Elemente aus $K_-$ und $K_+$ enthalten.