Aufgabe 1

Seht euch die Definition von Konvergenz sehr genau an. Die Aufgabe ist nicht schwer, achtet nur darauf, sie logisch richtig aufzuschreiben.

Aufgabe 2

(a) $2^k \leq n < 2^{k+1}$

• Ihr könnt zum Beispiel zeigen, dass es ein maximales $k$ mit $2^k \leq n$ gibt.

• Wieso gilt das?

  • Der Grund ist, dass es ein $\ell \in \mathbb N$ gibt mit $n < 2^\ell$.
  • Für alle $k > \ell$ gilt dann $n < 2^k$.
  • Also gibt es nur endlich viele $k$ mit $2^k \leq n$.
  • Es gibt mindestens ein solches $k$, weil $2^0 = 1_K$ und $\dots$
  • $\dots$ $n \geq 1_K$ für alle $n \in \mathbb N$, siehe Blatt 7, Aufgabe 2 oder VL

(b) $x_{2^n} = n$

• Induktionsbeweis über $n$

• Vergesst nicht, (kurz) das “Insbesondere” zu begründen.

(c) $x_{n+1} - x_n$ ist eine Nullfolge

• Siehe Hinweis auf Blatt 7:

Ein Beweis, der zeigen soll, dass eine Folge gegen einen Grenzwert konvergiert, beginnt stets mit “Sei $\epsilon > 0$.”

• Es gibt für $|x_{n+1} - x_n - 0|$ zwei Fälle zu unterscheiden.
• Die Fälle sind $k(n) = k(n+1)$ und $k(n) \neq k(n+1) = k(n) + 1$.

Aufgabe 3

Vergesst nicht das archimedische Axiom anzugeben, wenn ihr es benutzt!

$(a_n)$

• Kürzen und vereinfachen sollte zu dem folgenden Term führen:
• $\frac 1 {m+1-\frac 1 m}$ mit $n+1 \eqqcolon m$.
• Wählt für $\epsilon > 0$ ein $N$ mit $N+1 > \epsilon$.

$(b_n)$

• Antwort:

  Diese Folge konvergiert nicht. Sie hat zwei Häufungspunkte (Grenzwerte von Teilfolgen), $\frac 1 2$ und $-\frac 1 2$.

• Ihr könnt zum Beispiel die Proposition benutzen, dass für konvergente Folgen $(x_n)n$ gilt, dass $(x_n - x{n+1})$ eine Nullfolge ist.

$(c_n)$

• Der Trick bei solchen polynomiellen Brüchen i. d. R., die höchste Potenz herauszukürzen, also hier $n^{3}$. Das führt zu
• $c_n = \frac {\frac 3 n + \frac 1 {n^2}}{1 + \frac 1 n - \frac 1 {n^2}}$.
• Betrachtet Zähler und Nenner getrennt und benutzt die Sätze aus der Vorlesung zu Verträglichkeit von Konvergenzen und Verknüpfungen im Körper.

Aufgabe 4

• Wenn eine Aussage nicht zur Konvergenz von $(x_n)_n$ gegen $x$ äquivalent ist, dann solltet ihr das beweisen, z. B. indem ihr ein Beispiel findet, in dem die eine Aussage gilt und die andere nicht.

• Welche passen zusammen?

  • (i)

    Diese Aussage ist äquivalent zu $x_n \to x, n \to \infty$.

  • (ii)

    Auch das ist äquivalent zu der Konvergenz der Folge $(x_n)_n$ gegen den Punkt $x \in \mathbb R$.

  • (iii)

    Das sollte euch sehr bekannt vorkommen.

  • (iv)

    Diese Aussage ist stärker als $x_n \to x$. Zusatz: Sie gilt nur für $\dots$?

  • (v)

    Das ist schwächer als Konvergenz, es gibt Folgen, die (v) erfüllen, aber nicht konvergieren, Zusatz: und zwar $\dots$?