Aufgabe 3
Der Limes Superior ist der größte Häufungspunkt, der Limes Inferior der kleinste.
Aufgabe 4
(b) Die Häufungspunkte sind $\mathbb N$
Die Menge der Häufungspunkte soll genau $\mathbb N$ sein. Eine Abzählung von $\mathbb Q$ ist also kein Beispiel, da hier die Menge der Häufungspunkte $\mathbb R \supsetneq \mathbb N$ ist.
Wahrscheinlich ist die Aufgabe leichter, wenn ihr (a) gelöst habt.
Die Folge $(x_n)_n$ muss unendlich oft an jedes $m \in \mathbb N$ zurückkehren. Ihr könnt natürlich nicht “erst alle $m \in \mathbb N$ besuchen und dann wieder zurückkehren”, weil es unendlich viele $\mathbb N$ gibt. Aber:
Die Menge $m \in \mathbb N$ mit $m \leq M$ ist endlich.
(c) Die Häufungspunkte sind $P$
Dass die Folge $(p_n)_n$ beliebig ist, heißt nicht, dass ihr sie wählen könnt. Ihr könnt euch stattdessen vorstellen, dass sie fest ist, euch aber nicht bekannt. Eure Konstruktion muss trotzdem funktionieren.
Diese Aufgabe lässt sich als leichte Verallgemeinerung von (b) verstehen. Wenn ihr (b) zuerst löst, könnt ihr dasselbe Verfahren anwenden.
Die Aufgabe besitzt allerdings auch eine triviale Lösung, die völlig ohne das Verfahren aus (b) auskommt.