Aufgabe 1
Nehmt an, ihr hättet ein $y \in X$, für die $J(y)$ die gegebene Menge ist (warum nehmen wir das an? Was ist das Ziel dieser Annahme?).
Ist nun $y$ in der Menge oder nicht?
Aufgabe 2
(b)
Es gibt diese nützliche Abschätzung $(\frac n 2)^{n/2} \leq n!$; sie ist nicht schwer zu beweisen, wenn ihr sie benutzen wollt.
(c)
Es gilt (wieso?) $$ (\frac n 2)^{n/2} \leq n! \leq n^n .$$
Aufgabe 3
(b)
Betrachtet zuerst die $n$, für die $x_n < 1$ ist.
Warum gibt es nur endlich viele Ausnahmen?
Aufgabe 4
(a)
Der Trick ist, $a, b \in \mathbb C$ zu finden, sodass $$\frac 1 {(3k-1) , (3k+2)} = \frac a {3k-1} + \frac b {3k+2}$$ für alle $k \in \mathbb N$ gilt. Im ersten Schritt finden wir $a, b$. Im zweiten berechnen wir die Summe.
Schritt 1:
Löst die Gleichung nach $a$ oder $b$ auf. Damit die Gleichung für alle $k \in \mathbb N$ gilt, müssen $a$ und $b$ so gewählt sein, dass die Terme mit $k$ auf beiden Seiten gleich sind, und ebenso die Terme ohne $k$.
Ihr habt also ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen.
Schritt 2:
Ihr wisst (woher?), dass die Reihe absolut konvergiert.
Teleskopsumme