Aufgabe 1: $| \cdot|_p$ ist eine Norm

• Ihr könnt auch nur Teile der Aufgabe bearbeiten.
• Vergesst nicht, $p=1$ zu erwähnen.

(c)

• Versucht, $|x+y|_p^p$ abzuschätzen.
• Dazu bietet sich die Ungleichung aus der Aufgabenstellung an, $|a+b|^p = (|a| + |b|) |a+b|^{p-1}$.
• Jetzt müsst ihr das Distributivgesetz anwenden.
• Danach lässt sich auf zwei Terme die Hölder-Ungleichung anwenden.
• Nach einer weiteren kleinen Umformung erhaltet ihr nun die Minkowski-Ungleichung.

Aufgabe 2: $\lim_{p \to \infty} ||x||_p$

• Ihr könnt zum Beispiel $\lim_{p \to \infty} ||x||_p \leq ||x|| {\infty}$ und $\cdots \geq \cdots$ zeigen.
• Es ist $\lim_{p \to \infty} a^{\frac 1 p} = 1$ für alle $a \geq 0$.
• Betrachtet das $i$ mit $x_i = \max_{k =1}^d |x_k|$.
• Für eine Ungleichung könnt ihr alle anderen $x_k = 0$ setzen. Wie ändert sich die $p$-Norm in dem Fall?
• Für die andere Ungleichung müsst ihr den anderen Extremfall betrachten.

Aufgabe 3: Zweipunktvervollständigung

(a)

• Sowohl $\tan$ als auch $\arctan$ sind stetig.
• Ihr könnt auch sehr viele Fallunterscheidungen machen, wenn ihr sichergehen wollt.

(b)

• Aus Analysis 1 wissen wir, dass eine Folge in $\mathbb R$ immer eine monotone Teilfolge hat.
• Wenn ihr eine Teilfolge in $\mathbb R$ findet, seid ihr also fertig. (Denn dann gibt es eine monotone Teilfolge, und diese hat den Grenzwert …)
• Wenn es keine Teilfolge in $\mathbb R$ gibt, dann gibt es unendlich viele Folgenglieder, die …

Aufgabe 4

(a)

• Alle Eigenschaften lassen sich recht leicht nachrechnen. Ihr könnt aber auch benutzen, dass $d_D$ eine Metrik ist.

(b)

• Nehmt an, ihr hättet eine Cauchy-Folge $(w_m)_m$. Zu finden ist ein Wort, gegen das diese Wörter konvergieren.
• Ein Wort ist eine Abbildung $\mathbb N \to \mathcal A$, ihr müsst also für alle $n \in \mathbb N$ ein $a_n \in \mathbb N$ finden, sodass die Wörter $w_m$ an der Stelle $n$ gegen $a$ konvergieren, d.h. dass $\lim_{m \to \infty} w_m(n) = a_n$ gilt.
• Betrachtet ein $n \in \mathbb N$ und versucht, das richtige $a_n$ zu finden.
• Wenn ihr ein bestimmtes $\epsilon > 0$ betrachtet (siehe letzter Hinweis), könnt ihr sehen, dass $w_m(n)$ in $\mathcal A$ konvergieren muss.
• Was bedeutet Konvergenz in $\mathcal A$?
• Ab $\epsilon = \frac 1 {2^n}$ müssen die ersten $n$ Stellen der Wörter gleich sein.