Aufgabe 1

(a): Charakterisierung Abgeschlossenheit

• Diese Aufgabe ist sehr wichtig und eine gute Übung. Es gibt verschiedene Lösungswege für die Aufgabe.

• Nicht-Abgeschlossenheit bedeutet nicht Offenheit. Mengen können sowohl abgeschlossen als auch offen sein (zum Beispiel $\emptyset$ oder der ganze Raum.) Oder gar nichts von beidem. (Zum Beispiel $[0, 1) \subseteq \mathbb R$.)

$A$ ist abgeschlossen $\implies$ … :

• Ziel ist es, für eine solche Folge festzustellen, dass ihr Grenzwert nicht in $A^c$ liegen kann.
• … weil $A^c$ offen ist.
• … und die Folge dann irgendwann in $A^c$ liegen muss.

… $\implies$ $A$ ist abgeschlossen:

• Ihr könnt zum Beispiel einen indirekten Beweis führen (das heißt, statt $a \implies b$ zeigt ihr $\neg b \implies \neg a$.)
• Wenn $A^c$ nicht offen ist, existiert ein $y$, sodass für alle $r > 0$ …
• Jetzt müsst ihr zeigen, dass die eine Folge $(x_n)$ in $A$ existiert, die gegen $y$ konvergiert.

(b) Charakterisierung Abschluss

$\bar A \supseteq$ (Grenzwerte in $A$):

• Das lässt sich aus (a) schlussfolgern.

• Wenn ihr das Gefühl habt, das gleiche wie in (a) aufzuschrieben, lohnt es sich, kurz zu überlegen und stattdessen die Aussage aus (a) zu verwenden.

$\bar A \subseteq$ (Grenzwerte in $A$):

• Die Menge der $x$ für die eine Folge in $A$ existiert, die gegen $x$ konvergiert, ist abgeschlossen, weil …
• … das ist ein Diagonalfolgenargument und die Charakterisierung aus (a).
• Die Menge der Grenzwerte aus $A$ enthält offensichtlich $A$ (weil für jedes $x \in A$ …)

Aufgabe 2: $|A|$

(c) Stetigkeit linearer Abbildungen

• Ihr könnt zeigen, dass $A$ Lipschitz-stetig ist.
• Benutzt (b).

Aufgabe 3: $f$ ist stetig genau dann, wenn alle $f_i$ stetig sind.

Ist $f$ stetig, dann sind alle $f_i$ stetig:

• Zum Beispiel könnt ihr zeigen, dass die Abbildungen $p_i \colon \R^m \to \R$, $p_i(x) = x_i$ stetig sind.
• Dann ist $f_i$ eine Komposition zweier stetiger Funktionen.

Sind alle $f_i$ stetig, dann ist $f$ auch stetig:

• Betrachtet zum Beispiel $|f(x) - f(y)|^2$ für $x,y \in U$.
• Alle $|f_i(x) - f_i(y)| \to 0$ für $x$ nahe $y$, $i \in {1, \dots, n}$.

Aufgabe 4: Stetigkeit, Richtungsstetigkeit und partielle Stetigkeit

(a) $f_1(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$ für $(x,y) \neq 0, f(0,0) = 0$

Nicht-Richtungsstetigkeit

• Wie könnt ihr $y$ in Abhängigkeit von $x$ wählen, sodass $f_1(x,y) \not \to 0$ für $x \to 0$?
• Versucht einfach die einfachsten Möglichkeiten für $y$ aus. ($y = 0$ wird nicht funktionieren, weil $f_1$ partiell stetig ist.)

(b) $f_2(x,y) = \frac {xy^2}{x^2+y^4}$

Richtungsstetigkeit

• Es reicht, $x = 0$ und $y = ax$ zu betrachten (für alle $a \in \R$).

Nicht-Stetigkeit

• Versucht, $x$ in Abhängigkeit von $y$ zu finden, sodass $f(x,y)$ nicht gegen $0$ konvergiert für $y \to 0$.
• Tatsächlich könnt ihr $f(x(y),y) = 1$ für alle $y$ erreichen.

(c) $f_3(x,y) = \frac{xy^2}{x^2+y^2}$

• Es gilt $|y^2| \leq |(x,y)|^2$.